Gasket Apollonian adalah sejenis gambar fraktal yang terbentuk dari koleksi lingkaran yang semakin mengecil yang terdapat dalam satu lingkaran besar. Setiap bulatan di Apollonian Gasket bersinggungan dengan bulatan yang berdekatan - dengan kata lain, lingkaran di Apollonian Gasket bersentuhan pada titik-titik kecil. Dinamakan untuk ahli matematik Yunani Apollonius dari Perga, fraktal jenis ini dapat digambar (dengan tangan atau komputer) hingga tahap kerumitan yang wajar, membentuk gambaran yang indah dan menarik. Lihat Langkah 1 di bawah untuk memulakan.
Langkah-langkah
Bahagian 1 dari 2: Memahami Konsep Utama
Untuk menjadi jelas, jika anda hanya berminat untuk melukis Apollonian Gasket, tidak penting untuk meneliti prinsip matematik di sebalik fraktal. Walau bagaimanapun, jika anda mahukan pemahaman yang lebih mendalam mengenai Apollonian Gasket, penting untuk memahami definisi beberapa konsep yang akan kami gunakan semasa membincangkannya.
Langkah 1. Tentukan istilah utama
Istilah berikut digunakan dalam arahan di bawah:
- Apollonian Gasket: Salah satu daripada beberapa nama untuk jenis fraktal yang terdiri daripada rangkaian bulatan yang bersarang di dalam satu bulatan besar dan bersinggungan dengan semua yang lain di dekatnya. Ini juga disebut "Soddy Circles" atau "Kissing Circles".
- Radius bulatan: Jarak dari titik tengah bulatan ke pinggirnya. Biasanya diberikan pemboleh ubah r.
- Kelengkungan bulatan: Pembalikan positif atau negatif jejari, atau ± 1 / r. Kelengkungan positif ketika berhadapan dengan kelengkungan luar lingkaran dan negatif untuk kelengkungan dalaman.
- Tangen: Istilah yang diterapkan pada garis, bidang, dan bentuk yang bersilang pada satu titik kecil. Di Apollonian Gasket, ini merujuk kepada fakta bahawa setiap bulatan menyentuh setiap bulatan berdekatan hanya pada satu titik. Perhatikan bahawa tidak ada persimpangan - bentuk tangen tidak bertindih.
Langkah 2. Fahami Teorema Descartes
Teorema Descartes adalah formula yang berguna untuk mengira ukuran bulatan dalam Gasket Apollonian. Sekiranya kita menentukan kelengkungan (1 / r) mana-mana tiga bulatan sebagai a, b, dan c, masing-masing, Teorem menyatakan bahawa kelengkungan lingkaran (atau bulatan) bersinggungan dengan ketiga, yang akan kita tentukan sebagai d, adalah: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Untuk tujuan kami, secara umum kami hanya akan menggunakan jawapan yang kami peroleh dengan meletakkan tanda tambah di depan punca kuasa dua (dengan kata lain,… + 2 (sqrt (…)). Buat masa ini, sudah cukup untuk mengetahui bahawa pengurangan bentuk persamaan mempunyai kegunaannya dalam tugas-tugas lain yang berkaitan
Bahagian 2 dari 2: Membina Gasket Apollonian
Gasket Apollonian berbentuk susunan fraktal yang indah dari lingkaran yang menyusut. Secara matematik, Gasket Apollonian mempunyai kerumitan yang tidak terhingga, tetapi, sama ada anda menggunakan program melukis komputer atau alat melukis tradisional, anda akhirnya akan mencapai titik di mana mustahil untuk melukis lingkaran lebih kecil. Perhatikan bahawa dengan lebih tepat anda melukis bulatan anda, semakin banyak anda dapat memasukkannya ke dalam Gasket anda.
Langkah 1. Kumpulkan alat lukisan digital atau analog anda
Dalam langkah-langkah di bawah, kami akan membuat Apollonian Gasket ringkas kami sendiri. Anda boleh melukis Gasket Apollonian dengan tangan atau komputer. Dalam kedua-dua kes, anda pasti dapat melukis bulatan bulat dengan sempurna. Ini cukup penting. Oleh kerana setiap bulatan dalam Apollonian Gasket sangat bersentuhan dengan bulatan di sebelahnya, lingkaran yang sedikit tersekat dapat "membuang" produk akhir anda.
- Sekiranya melukis Gasket di komputer, anda memerlukan program yang membolehkan anda dengan mudah melukis bulatan jejari tetap dari titik pusat. Gfig, sambungan gambar vektor untuk program penyuntingan gambar percuma GIMP, dapat digunakan, begitu juga dengan pelbagai program lukisan lain (lihat bahagian bahan untuk pautan yang berkaitan). Anda mungkin juga memerlukan aplikasi kalkulator dan dokumen pemproses kata atau notepad fizikal untuk mencatat kelengkungan dan jari-jari.
- Untuk menggambar Gasket dengan tangan, anda memerlukan kalkulator (ilmiah atau grafik yang disarankan), pensil, kompas, pembaris (sebaiknya skala dengan tanda milimeter, kertas grafik, dan notepad untuk mengambil nota.
Langkah 2. Mulakan dengan satu bulatan besar
Tugas pertama anda adalah mudah - lukis satu bulatan yang besar dan bulat sempurna. Semakin besar bulatannya, semakin kompleks Gasket anda, jadi cubalah membuat bulatan sebesar kertas yang anda izinkan atau sebesar yang anda dapat dengan mudah dalam satu tetingkap pada program lukisan anda.
Langkah 3. Buat bulatan yang lebih kecil di dalam yang asal, bersinggungan dengan satu sisi
Seterusnya, lukis bulatan lain di dalam yang pertama lebih kecil daripada yang asal, tetapi masih cukup besar. Ukuran tepat bulatan kedua terpulang kepada anda - tidak ada ukuran yang betul. Walau bagaimanapun, untuk tujuan kita, mari lukis bulatan kedua kita sehingga tepat sampai di separuh bulatan luar kita yang besar. Dengan kata lain, mari lukis bulatan kedua kita sehingga titik pusatnya adalah titik tengah jejari bulatan besar.
Ingatlah bahawa di Gasket Apollonian, semua bulatan yang bersentuhan saling berkaitan. Sekiranya anda menggunakan kompas untuk menarik lingkaran anda dengan tangan, buat semula kesan ini dengan meletakkan titik tajam kompas di titik tengah jari-jari bulatan luar yang besar, sesuaikan pensil anda sehingga hanya menyentuh tepi bulatan besar, kemudian lukis bulatan dalaman anda yang lebih kecil
Langkah 4. Lukis bulatan yang sama "seberang" lingkaran dalam yang lebih kecil
Seterusnya, mari kita lukis bulatan lain dari yang pertama. Lingkaran ini harus bersinggungan dengan bulatan luar yang besar dan lingkaran dalam yang lebih kecil, yang bermaksud bahawa dua bulatan dalaman anda akan menyentuh titik tengah bulatan luar yang tepat.
Langkah 5. Terapkan Teorema Descartes untuk mengetahui ukuran bulatan anda yang seterusnya
Mari berhenti melukis sebentar. Sekarang kita mempunyai tiga bulatan di Gasket kita, kita dapat menggunakan Teorema Descartes untuk mencari jejari bulatan berikutnya yang akan kita lukis. Ingat bahawa Teorem Descartes adalah d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), di mana a, b, dan c adalah kelengkungan tiga bulatan tangen anda dan d adalah kelengkungan bulatan bersinggungan dengan ketiga-tiga. Oleh itu, untuk mencari jejari bulatan seterusnya, mari kita cari kelengkungan setiap bulatan yang kita miliki sejauh ini sehingga kita dapat mencari kelengkungan bulatan seterusnya, kemudian ubah ini menjadi jejarinya.
-
Mari tentukan jejari bulatan luar kita sebagai
Langkah 1.. Oleh kerana lingkaran lain berada di dalam yang satu ini, kita berurusan dengan kelengkungan dalamannya (dan bukannya kelengkungan luarannya), dan, akibatnya, kita tahu kelengkungannya negatif. - 1 / r = -1/1 = -1. Kelengkungan bulatan besar adalah - 1.
-
Radius bulatan yang lebih kecil adalah separuh lebih besar daripada lingkaran besar, atau, dengan kata lain, 1/2. Oleh kerana bulatan ini saling bersentuhan dan bulatan besar dengan tepi luarnya, kita berhadapan dengan kelengkungan luarannya, jadi lengkungannya positif. 1 / (1/2) = 2. Kelengkungan bulatan yang lebih kecil adalah keduanya
Langkah 2..
-
Sekarang, kita tahu bahawa a = -1, b = 2, dan c = 2 untuk persamaan Teorem Descartes kami. Mari kita selesaikan untuk d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Kelengkungan bulatan seterusnya adalah
Langkah 3.. Oleh kerana 3 = 1 / r, jejari bulatan seterusnya adalah 1/3.
Langkah 6. Buat kumpulan bulatan anda yang seterusnya
Gunakan nilai radius yang baru anda dapati untuk menarik dua bulatan anda yang seterusnya. Ingat bahawa ini akan bersinggungan dengan lingkaran yang kelengkungannya Anda gunakan untuk a, b, dan c di Teorem Descartes. Dengan kata lain, mereka akan bersinggungan dengan lingkaran asal dan kedua. Agar bulatan ini bersinggungan dengan ketiga bulatan, anda perlu menggambarnya di ruang terbuka di bahagian atas dan bawah kawasan di dalam bulatan asal besar anda.
Ingat bahawa jari-jari bulatan ini akan sama dengan 1/3. Ukur 1/3 ke belakang dari pinggir bulatan luar, kemudian lukis bulatan baru anda. Ini harus bersinggungan dengan ketiga bulatan di sekitarnya
Langkah 7. Teruskan dengan cara ini untuk terus menambahkan kalangan
Kerana ia adalah fraktal, Gasket Apollonian sangat kompleks. Ini bermaksud anda dapat menambahkan lingkaran yang lebih kecil dan lebih kecil pada isi hati anda. Anda terhad hanya ketepatan alat anda (atau, jika anda menggunakan komputer, kemampuan program melukis anda untuk "memperbesar"). Setiap bulatan, tidak kira seberapa kecil, harus bersinggungan dengan tiga bulatan yang lain. Untuk melukis setiap bulatan berikutnya di Gasket anda, pasangkan lengkungan ketiga bulatan yang akan bersinggungan dengan Teorem Descartes. Kemudian, gunakan jawapan anda (yang akan menjadi jejari bulatan baru anda) untuk melukis bulatan baru anda dengan tepat.
- Perhatikan bahawa Gasket yang kami pilih untuk dilukis adalah simetris, jadi jejari satu bulatan sama dengan lingkaran yang sesuai "di seberang". Namun, ketahui bahawa tidak setiap Apollonian Gasket tidak simetris.
-
Mari kita hadapi satu lagi contoh. Katakan bahawa, setelah melukis kumpulan bulatan terakhir kita, sekarang kita ingin melukis bulatan yang bersinggungan dengan kumpulan ketiga kita, kumpulan kedua kita, dan lingkaran luar kita yang besar. Lengkungan bulatan ini masing-masing adalah 3, 2, dan -1. Mari pasangkan nombor ini ke Teorema Descartes, tetapkan a = -1, b = 2, dan c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Kami mempunyai dua jawapan! Namun, kerana kita tahu bahawa lingkaran baru kita akan lebih kecil daripada lingkaran yang bersinggungan, hanya kelengkungan
Langkah 6. (dan oleh itu jejari 1/6) masuk akal.
- Jawapan kami yang lain, 2, sebenarnya merujuk kepada bulatan hipotetis di seberang titik tangen bulatan kedua dan ketiga kami. Bulatan ini adalah bersinggungan dengan kedua lingkaran ini dan ke lingkaran luar yang besar, tetapi akan bersilang dengan lingkaran yang telah kita lukis, sehingga kita dapat mengabaikannya.
Langkah 8. Untuk cabaran, cuba buat Gasket Apollonian yang tidak simetri dengan mengubah ukuran bulatan kedua anda
Semua Gasket Apollonian bermula sama - dengan bulatan luar yang besar yang berfungsi sebagai pinggir fraktal. Walau bagaimanapun, tidak ada sebab bahawa lingkaran kedua anda semestinya mempunyai 1/2 jari-jari pertama - kami memilih untuk melakukan ini di atas kerana mudah dan senang difahami. Untuk bersenang-senang, cuba mulakan Gasket baru dengan bulatan kedua dengan ukuran yang berbeza - ini akan menghasilkan jalan penjelajahan baru yang menarik.
